De nuevo, y como en la mayoría de los problemas que plantea el día a día, la paciencia y la lógica son las mejores aliadas para dar con la solución al enigma de la semana. De poco sirve desesperar o tratar de buscar atajos, y bien saben de ello los sacerdotes protagonistas del acertijo de la Torre de Hanói.
También las matemáticas son clave para dar con un número final. Antes, sin embargo, recordemos el planteamiento.
Planteamiento
En el gran templo de Benarés, debajo de la cúpula que marca el centro del mundo, yace una base de bronce en la que se encuentran fijadas tres agujas de diamante de un codo de altura y del grueso del cuerpo de una abeja.
En una de estas agujas, Dios, en el comienzo de los siglos, colocó sesenta y cuatro discos de oro puro, el mayor sobre el plato de bronce, y los otros, en orden decreciente de anchura, superpuestos hasta la cima. Esta es la Torre de Brahma. Día y noche, los sacerdotes se turnan en la ocupación de transportar la torre de la primera aguja de diamante a la tercera, sin desviarse de las reglas fijas e inmutables impuestas por Brahma.
El sacerdote no debe mover más de un disco a la vez; y no debe colocar un disco más que en una aguja libre, o sobre un disco mayor. Cuando siguiendo estrictamente estas recomendaciones los sesenta y cuatro discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios los colocó a la tercera, la torre y los brahmanes se convertirán en polvo y será el fin del mundo.
Si los sacerdotes fuesen capaces de realizar un movimiento cada segundo, ¿cuál sería el tiempo necesario para trasladar la columna y, por tanto, cuándo acabaría el mundo?
La solución
Para dar con la solución, lo mejor es simplificar al máximo para hallar un patrón y, luego, ampliarlo hasta nuestro planteamiento. Primero, una aclaración: las tres agujas (torres) serán la de origen (donde están los anillos), la de destino (donde van a acabar), y la intermedia.
El número mínimo de movimientos necesarios para resolver un rompecabezas de la Torre de Hanói es 2n - 1, donde n es la cantidad de anillos. Una manera sencilla para saber si es posible terminar el “juego” es que si la cantidad de anillos es impar la pieza inicial irá a destino y si es par a auxiliar.
En un juego con un número par de anillos, el movimiento inicial de la aguja de origen es hacia la intermedia. El anillo número 2 se debe mover, por regla, a la aguja de destino. Luego, el primer anillo se mueve también a la aguja de destino para que quede sobre el anillo número 2. A continuación, se mueve el anillo que sigue de la aguja origen, en este caso el anillo 3, y se coloca en la aguja auxiliar. Finalmente, el anillo número 1 regresa de la aguja de destino a la de origen (aunque sin pasar por la auxiliar) y así sucesivamente. Es decir, el truco está en el anillo más pequeño.
Bajo esta fórmula, los 64 discos acabarían en el lugar adecuado en nada más y nada menos que 18.446.744.073.709.551.615 segundos. Si los brahmanes fuesen capaces de realizar un movimiento cada segundo (¡que ya es transferir!), el tiempo necesario para trasladar la columna sería, aproximadamente, de 585.000.000.000 años, que viene a ser más de cien veces la edad actual de nuestro sol.
Para encontrar la solución del puzzle con un disco, necesitaremos un único movimiento. Si tenemos dos discos, necesitaremos 3 movimientos. Con tres discos, son precisos 7 movimientos.
Porque si tenemos n+1 discos, primero llevamos n discos a otro de los postes. Esto nos da x movimientos. Luego llevamos el disco restante (el mayor) al tercer poste, y finalmente trasladamos los n discos menores encima del mayor. Total: 2·x+1 movimientos.
· Para un disco n = 1, necesitamos 21-1 movimientos
· Para dos discos n = 2, necesitamos 2·(21 - 1) + 1 = 22 - 1
· Para n discos : 2 (2n-1 - 1) + 1= 2n - 1
· Total, que si n = 64, el número de movimientos es 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615
Si los brahmanes fuesen capaces de realizar un movimiento cada segundo (¡que ya es transferir!), el tiempo necesario para trasladar la columna sería, aproximadamente, de 585.000.000.000 años, que viene a ser más de cien veces la edad actual de nuestro sol, lo cual es suficientemente tranquilizador, al menos en lo que respecta al problema que nos ocupa: ya encontraremos otro modo de acabar.
Una forma de resolver el problema se fundamenta en el disco más pequeño, el de más arriba en la varilla de origen. En un juego con un número par de discos, el movimiento inicial de la varilla origen es hacia la varilla auxiliar. El disco no. 2 se debe mover, por regla, a la varilla destino. Luego, el disco no. 1 se mueve también a la varilla destino para que quede sobre el disco no. 2. A continuación, se mueve el disco que sigue de la varilla origen, en este caso el disco no. 3, y se coloca en la varilla auxiliar. Finalmente, el disco no. 1 regresa de la varilla destino a la origen (sin pasar por la auxiliar), y así sucesivamente. Es decir, el truco está en el disco más pequeño.